Em matemática, uma transformação de Tschirnhaus, também conhecida como transformação de Tschirnhausen, é um tipo de mapeamento em polinômios desenvolvido por Ehrenfried Walther von Tschirnhaus em 1683. Simplificando, é um método para transformar uma equação polinomial de grau
n ≥ 2
{\displaystyle n\geq 2}
com alguns coeficientes intermediários não nulos,
a
1
, ... ,
a
n − 1
{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n-1}}
, de tal modo que alguns ou todos os coeficientes intermediários transformados,
a
1
′
, ... ,
a
n − 1
′
{\displaystyle a'_{1},\dots ,a'_{n-1}}
, sejam exatamente zero. Por exemplo, encontrar uma substituição
y ( x ) =
k
1
x
2
+
k
2
x +
k
3
{\displaystyle y(x)=k_{1}x^{2}+k_{2}x+k_{3}}
para uma equação cúbica de grau
n = 3
{\displaystyle n=3}
,
f ( x ) =
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x +
a
0
{\displaystyle f(x)=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}
de forma que a substituição de
x = x ( y )
{\displaystyle x=x(y)}
produza uma nova equação
f ′
( y ) =
y
3
+
a
2
′
y
2
+
a
1
′
y +
a
0
′
{\displaystyle f'(y)=y^{3}+a'_{2}y^{2}+a'_{1}y+a'_{0}}
na qual
a
1
′
= 0
{\displaystyle a'_{1}=0}
,
a
2
′
= 0
{\displaystyle a'_{2}=0}
, ou ambos. De forma mais geral, ela pode ser definida convenientemente por meio da teoria de corpos, como a transformação em polinômios mínimos implicada por uma escolha diferente de elemento primitivo. Esta é a transformação mais geral de um polinômio irredutível que leva uma raiz a alguma função racional aplicada a essa raiz.
Definição Para uma equação polinomial mônica e redutível genérica de grau
n
{\displaystyle n}
,
f ( x ) = 0
{\displaystyle f(x)=0}
, da forma
f ( x ) = g ( x )
/
h ( x )
{\displaystyle f(x)=g(x)/h(x)}
, onde
g ( x )
{\displaystyle g(x)}
e
h ( x )
{\displaystyle h(x)}
são polinômios e
h ( x )
{\displaystyle h(x)}
não se anula em
f ( x ) = 0
{\displaystyle f(x)=0}
,
f ( x ) =
x
n
+
a
1
x
n − 1
+
a
2
x
n − 2
+ ⋯ +
a
n − 1
x +
a
n
= 0
{\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\dots +a_{n-1}x+a_{n}=0}
a transformação de Tschirnhaus é a função:
y =
k
1
x
n − 1
+
k
2
x
n − 2
+ ⋯ +
k
n − 1
x +
k
n
{\displaystyle y=k_{1}x^{n-1}+k_{2}x^{n-2}+\dots +k_{n-1}x+k_{n}}
Tal que a nova equação em
y
{\displaystyle y}
,
f ′
( y )
{\displaystyle f'(y)}
, possua certas propriedades especiais, mais comumente de modo que alguns coeficientes,
a
1
′
, ... ,
a
n − 1
′
{\displaystyle a'_{1},\dots ,a'_{n-1}}
, sejam identicamente nulos.
Exemplo: O método de Tschirnhaus para equações cúbicas Em seu artigo de 1683, Tschirnhaus encontrou as raízes do polinômio
f ( x ) =
x
3
− p
x
2
+ q x − r
{\displaystyle f(x)=x^{3}-px^{2}+qx-r}
usando a mudança de variáveis
y ( x ; a ) = x − a
{\displaystyle y(x;a)=x-a}
e a sua inversa
x ( y ; a ) = y + a .
{\displaystyle x(y;a)=y+a.}
Substituindo
x
{\displaystyle x}
por
y + a
{\displaystyle y+a}
em
f
{\displaystyle f}
, e expandindo as potências de
y + a
{\displaystyle y+a}
na fórmula resultante, obtém-se o polinômio transformado
f ′
( y ; a )
=
y
3
+ ( 3 a − p )
y
2
+ ( 3
a
2
− 2 p a + q ) y + (
a
3
− p
a
2
+ q a − r )
=
y
3
+
a
1
′
y
2
+
a
2
′
y +
a
3
′
{\displaystyle {\begin{aligned}f'(y;a)&=y^{3}+(3a-p)y^{2}+(3a^{2}-2pa+q)y+(a^{3}-pa^{2}+qa-r)\\&=y^{3}+a'_{1}y^{2}+a'_{2}y+a'_{3}\end{aligned}}}
com os coeficientes
a
1
′
= 3 a − p
a
2
′
= 3
a
2
− 2 p a + q
a
3
′
=
a
3
− p
a
2
+ q a − r .
{\displaystyle {\begin{aligned}a'_{1}&=3a-p\\a'_{2}&=3a^{2}-2pa+q\\a'_{3}&=a^{3}-pa^{2}+qa-r.\end{aligned}}}
O termo quadrático em
f ′
{\displaystyle f'}
pode ser eliminado definindo
a
1
′
= 0
{\displaystyle a'_{1}=0}
, e a resolução para
a
1
′
= 3 a − p = 0
{\displaystyle a'_{1}=3a-p=0}
determina o parâmetro
a
{\displaystyle a}
como
a = p
/
3
{\displaystyle a=p/3}
. Assim, a transformação de Tschirnhaus
y = x −
p 3
,
{\displaystyle y=x-{\frac {p}{3}},}
pode ser substituída em
f ′
( y ; a )
{\displaystyle f'(y;a)}
para produzir um polinômio da forma
f ′
( y ) =
y
3
−
q ′
y −
r ′
.
{\displaystyle f'(y)=y^{3}-q'y-r'.}
As raízes do polinômio original
f
{\displaystyle f}
podem ser obtidas a partir das raízes deste polinômio transformado
f ′
{\displaystyle f'}
pela mesma transformação. Tschirnhaus prosseguiu descrevendo como uma transformação de Tschirnhaus da forma
x
2
= b x + y + a
{\displaystyle x^{2}=bx+y+a}
pode ser usada para eliminar dois coeficientes de uma maneira semelhante.
Generalização Em detalhes, seja
K
{\displaystyle K}
um corpo, e
P ( t )
{\displaystyle P(t)}
um polinômio sobre
K
{\displaystyle K}
. Se
P
{\displaystyle P}
for irredutível, então o anel quociente do anel de polinômios
K [ t ]
{\displaystyle K[t]}
pelo ideal principal gerado por
P
{\displaystyle P}
,
K [ t ]
/
( P ( t ) ) = L
{\displaystyle K[t]/(P(t))=L}
, é uma extensão de corpo de
K
{\displaystyle K}
. Temos
L = K ( α )
{\displaystyle L=K(\alpha )}
onde
α
{\displaystyle \alpha }
é
t
{\displaystyle t}
módulo
( P )
{\displaystyle (P)}
. Isto é, qualquer elemento de
L
{\displaystyle L}
é um polinômio em
α
{\displaystyle \alpha }
, que é, por conseguinte, um elemento primitivo de
L
{\displaystyle L}
. Haverá outras escolhas
β
{\displaystyle \beta }
de elemento primitivo em
L
{\displaystyle L}
: para qualquer uma dessas escolhas de
β
{\displaystyle \beta }
teremos, por definição:
β = F ( α ) , α = G ( β )
{\displaystyle \beta =F(\alpha ),\alpha =G(\beta )}
, com polinômios
F
{\displaystyle F}
e
G
{\displaystyle G}
sobre
K
{\displaystyle K}
. Agora, se
Q
{\displaystyle Q}
for o polinômio mínimo para
β
{\displaystyle \beta }
sobre
K
{\displaystyle K}
, podemos chamar
Q
{\displaystyle Q}
de uma transformação de Tschirnhaus de
P
{\displaystyle P}
. Portanto, o conjunto de todas as transformações de Tschirnhaus de um polinômio irredutível deve ser descrito como abrangendo todas as maneiras de alterar
P
{\displaystyle P}
, mas mantendo
L
{\displaystyle L}
inalterado. Este conceito é usado na redução de quínticas para a forma de Bring-Jerrard, por exemplo. Existe uma conexão com a teoria de Galois, quando
L
{\displaystyle L}
é uma extensão de Galois de
K
{\displaystyle K}
. O grupo de Galois pode então ser considerado como todas as transformações de Tschirnhaus de
P
{\displaystyle P}
em si mesmo.
História Em 1683, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus publicou um método para reescrever um polinômio de grau
n > 2
{\displaystyle n>2}
de tal modo que os termos
x
n − 1
{\displaystyle x^{n-1}}
e
x
n − 2
{\displaystyle x^{n-2}}
tivessem coeficientes nulos. Em seu artigo, Tschirnhaus referenciou um método de René Descartes para reduzir um polinômio quadrático
( n = 2 )
{\displaystyle (n=2)}
de tal forma que o termo em
x
{\displaystyle x}
tivesse coeficiente nulo. Em 1786, este trabalho foi expandido por Erland Samuel Bring, que mostrou que qualquer polinômio quíntico genérico poderia ser reduzido de maneira semelhante. Em 1834, George Jerrard expandiu ainda mais o trabalho de Tschirnhaus, demonstrando que uma transformação de Tschirnhaus poderia ser usada para eliminar
x
n − 1
{\displaystyle x^{n-1}}
,
x
n − 2
{\displaystyle x^{n-2}}
e
x
n − 3
{\displaystyle x^{n-3}}
de um polinômio geral de grau
n > 3
{\displaystyle n>3}
.
Ver também Completamento de quadrados Transformações polinomiais Polinômio mônico Polinômio irredutível Função quíntica Teoria de Galois Teorema de Abel-Ruffini
Referências
