Na teoria dos números, um número narcisista, também conhecido como número de Armstrong ou como número mais que perfeito é um número em determinada base
b
{\displaystyle b}
cuja soma de seus próprios dígitos, elevados a potência
n
{\displaystyle n}
, sendo
n
{\displaystyle n}
o número de dígitos do número, resulta nele mesmo. Por exemplo, o número 153 é igual a
1
3
+
5
3
+
3
3
{\displaystyle 1^{3}+5^{3}+3^{3}}
, tornando-o um número narcisista.
Definição Um número em determinada base
b > 1
{\displaystyle b>1}
cuja soma de seus próprios dígitos, elevados a potência
n
{\displaystyle n}
, sendo
n
{\displaystyle n}
o número de dígitos do número. De outro modo, temos que o número narcisista
N
{\displaystyle N}
, com os dígitos
a
1
a
2
. . .
a
n
{\displaystyle a_{1}a_{2}...a_{n}}
, é expresso da forma
N =
∑
i = 1
N
(
a
i
k
)
{\displaystyle N=\sum _{i=1}^{N}(a_{i}^{k})}
, sendo
k
{\displaystyle k}
um número inteiro positivo. Trivialmente, todos os números de um dígito na base 10 são números narcisistas. Além disso, na base decimal, os números narcisistas existem apenas para
n ≤ 60
{\displaystyle n\leq 60}
, uma vez que, para
n > 60
{\displaystyle n>60}
,
n ⋅
9
n
<
10
n − 1
{\displaystyle n\cdot 9^{n}<10^{n-1}}
. Portanto, provado por D. Winter em 1985, existem 88 números narcisistas.
Os números narcisistas
Números narcisistas na base 10 Abaixo, está uma tabela com todos os números narcisistas na base decimal.
Números narcisistas em outras bases Abaixo, está uma tabela com os primeiros números narcisistas em bases pequenas.
História Um matemático anônimo escreveu o número 153 como
1
3
+
5
3
+
3
3
{\displaystyle 1^{3}+5^{3}+3^{3}}
. Logo, percebeu a semelhança desse comportamento com os números 370, 371 e 407. O matemático britânico Godfrey Hardy, em seu livro A Mathematician's Apology, argumenta que não há nada de peculiar nos números narcisistas que configure uma propriedade matemática.
Números narcisistas radicais Números narcisistas radicais
n
{\displaystyle n}
são aqueles que podem ser expressos usando apenas os dígitos de
n
{\displaystyle n}
(cada dígito deve aparecer somente uma vez e deve ser utilizado da esquerda para a direita) usando qualquer operador e, obrigatoriamente, deve utilizar da radiciação. Por exemplo,
729 = ( 7 + 2
)
9
{\displaystyle 729=(7+2)^{\sqrt {9}}}
e
4372 = √
4
⋅
3
7
− 2
{\displaystyle 4372=\surd {4}\cdot 3^{7}-2}
são narcisistas radicais.
Referências
