Na geometria algébrica, um novo esquema (por exemplo, uma variedade algébrica) pode ser obtido pela colagem de esquemas (gluing schemes) existentes através de mapeamentos de colagem.
Declaração Suponha que haja uma família (possivelmente infinita) de esquemas
{
X
i
}
i ∈ I
{\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}
e, para os pares
i , j
{\displaystyle i,j}
, existem subconjuntos abertos
U
i j
{\displaystyle U_{ij}}
e isomorfismos
φ
i j
:
U
i j
→ ∼
U
j i
{\displaystyle \varphi _{ij}\colon U_{ij}{\overset {\sim }{\to }}U_{ji}}
. Agora, se os isomorfismos são compatíveis no seguinte sentido: para cada
i , j , k
{\displaystyle i,j,k}
,
φ
i j
=
φ
j i
− 1
{\displaystyle \varphi _{ij}=\varphi _{ji}^{-1}}
,
φ
i j
(
U
i j
∩
U
i k
) =
U
j i
∩
U
j k
{\displaystyle \varphi _{ij}(U_{ij}\cap U_{ik})=U_{ji}\cap U_{jk}}
,
φ
j k
∘
φ
i j
=
φ
i k
{\displaystyle \varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}=\varphi _{ik}}
em
U
i j
∩
U
i k
{\displaystyle U_{ij}\cap U_{ik}}
,então existe um esquema
X
{\displaystyle X}
, juntamente com os morfismos
ψ
i
:
X
i
→ X
{\displaystyle \psi _{i}\colon X_{i}\to X}
tais que
ψ
i
{\displaystyle \psi _{i}}
é um isomorfismo sobre um subconjunto aberto de
X
{\displaystyle X}
,
X =
∪
i
ψ
i
(
X
i
) ,
{\displaystyle X=\cup _{i}\psi _{i}(X_{i}),}
ψ
i
(
U
i j
) =
ψ
i
(
X
i
) ∩
ψ
j
(
X
j
) ,
{\displaystyle \psi _{i}(U_{ij})=\psi _{i}(X_{i})\cap \psi _{j}(X_{j}),}
ψ
i
=
ψ
j
∘
φ
i j
{\displaystyle \psi _{i}=\psi _{j}\circ \varphi _{ij}}
em
U
i j
{\displaystyle U_{ij}}
.
Exemplos
Reta projetiva
Sejam
X = Spec ( k [ t ] ) ≃
A
1
, Y = Spec ( k [ u ] ) ≃
A
1
{\displaystyle X=\operatorname {Spec} (k[t])\simeq \mathbb {A} ^{1},Y=\operatorname {Spec} (k[u])\simeq \mathbb {A} ^{1}}
duas cópias da reta afim sobre um corpo
k
{\displaystyle k}
. Seja
X
t
= { t ≠ 0 } = Spec ( k [ t ,
t
− 1
] )
{\displaystyle X_{t}=\{t\neq 0\}=\operatorname {Spec} (k[t,t^{-1}])}
o complemento da origem e
Y
u
= { u ≠ 0 }
{\displaystyle Y_{u}=\{u\neq 0\}}
definido de forma semelhante. Seja
Z
{\displaystyle Z}
o esquema obtido colando-se
X , Y
{\displaystyle X,Y}
ao longo do isomorfismo
X
t
≃
Y
u
{\displaystyle X_{t}\simeq Y_{u}}
dado por
t
− 1
↔ u
{\displaystyle t^{-1}\leftrightarrow u}
; identificamos
X , Y
{\displaystyle X,Y}
com os subconjuntos abertos de
Z
{\displaystyle Z}
. Agora, os anéis afins
Γ ( X ,
O
Z
) , Γ ( Y ,
O
Z
)
{\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{Z}),\Gamma (Y,{\mathcal {O}}_{Z})}
são ambos anéis de polinômios em uma variável de tal forma que
Γ ( X ,
O
Z
) = k [ s ]
{\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{Z})=k[s]}
e
Γ ( Y ,
O
Z
) = k [
s
− 1
]
{\displaystyle \Gamma (Y,{\mathcal {O}}_{Z})=k[s^{-1}]}
onde os dois anéis são vistos como subanéis do corpo de funções
k ( Z ) = k ( s )
{\displaystyle k(Z)=k(s)}
. Mas isso significa que
Z =
P
1
{\displaystyle Z=\mathbb {P} ^{1}}
; porque, por definição,
P
1
{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}
é coberta pelas duas cartas afins abertas cujos anéis afins são da forma acima.
Reta afim com origem dupla Sejam
X , Y ,
X
t
,
Y
u
{\displaystyle X,Y,X_{t},Y_{u}}
como no exemplo acima. Mas desta vez seja
Z
{\displaystyle Z}
o esquema obtido colando-se
X , Y
{\displaystyle X,Y}
ao longo do isomorfismo
X
t
≃
Y
u
{\displaystyle X_{t}\simeq Y_{u}}
dado por
t ↔ u
{\displaystyle t\leftrightarrow u}
. Assim, geometricamente,
Z
{\displaystyle Z}
é obtido identificando-se duas retas paralelas, exceto na origem; isto é, trata-se de uma reta afim com a origem duplicada. (Pode-se mostrar que
Z
{\displaystyle Z}
não é um esquema separado.) Em contraste, se duas retas são coladas de modo que a origem em uma reta corresponda ao ponto no infinito (ilusório) da outra reta; ou seja, usando o isomorfismo
t
− 1
↔ u
{\displaystyle t^{-1}\leftrightarrow u}
, então o esquema resultante é, pelo menos visualmente, a reta projetiva
P
1
{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}
.
Produtos fibrados e pushouts de esquemas Predefinição:Vejatambém
A categoria de esquemas admite pullbacks finitos e, em alguns casos, pushouts finitos; ambos são construídos pela colagem de esquemas afins. Para esquemas afins, produtos fibrados e pushouts correspondem a produtos tensoriais e quadrados fibrados de álgebras.
Referências
Bibliografia Vakil, Ravi (18 de novembro de 2017). «Math 216: Foundations of algebraic geometry»
Leitura adicional Stacks Project, 26.14 Glueing schemes
